$si{n}^{2}18°+si{n}^{2}36°+si{n}^{2}54°+si{n}^{2}72°$ এর মান কত?

বিস্তারিত সমাধান:

প্রদত্ত রাশিটি হলো:

\( \sin^2 18^\circ + \sin^2 36^\circ + \sin^2 54^\circ + \sin^2 72^\circ \)

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির পূরক কোণের সূত্রানুযায়ী:

\( \sin(90^\circ - \theta) = \cos \theta \)

এই সূত্র ব্যবহার করে, আমরা \( \sin^2 54^\circ \) এবং \( \sin^2 72^\circ \) পদগুলোকে পরিবর্তন করতে পারি:

\( \sin^2 54^\circ = \sin^2 (90^\circ - 36^\circ) = \cos^2 36^\circ \)

\( \sin^2 72^\circ = \sin^2 (90^\circ - 18^\circ) = \cos^2 18^\circ \)

এখন, এই পরিবর্তিত মানগুলো মূল রাশিতে বসিয়ে পাই:

\( \sin^2 18^\circ + \sin^2 36^\circ + \cos^2 36^\circ + \cos^2 18^\circ \)

পদগুলোকে একসাথে সাজিয়ে লিখলে পাই:

\( (\sin^2 18^\circ + \cos^2 18^\circ) + (\sin^2 36^\circ + \cos^2 36^\circ) \)

আমরা জানি, ত্রিকোণমিতির মৌলিক অভেদ (Pythagorean identity) হলো:

\( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \)

এই অভেদ ব্যবহার করে, উপরোক্ত রাশিটিকে সরলীকরণ করা যায়:

\( 1 + 1 = 2 \)

সুতরাং, প্রদত্ত রাশির মান হলো \( 2 \)।